Giải Toán 8 - Tập 1 trang 73

Hai trang này thuộc phần cuối bài về hình thoi – hình vuông và phần Luyện tập chung của chương III. Mình sẽ giải lần lượt tất cả bài tập từ 3.30 đến 3.38.

Tóm tắt lý thuyết cần dùng

• Dấu hiệu hình bình hành: hai cặp cạnh đối song song (hoặc đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
• Hình bình hành có một góc vuông → hình chữ nhật; có hai cạnh kề bằng nhau (hoặc hai đường chéo vuông góc) → hình thoi.
• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc hình thoi có một góc vuông → hình vuông.
• Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.

---

Bài 3.30: Tứ giác AEDF tạo bởi các đường song song

Đề: Tam giác $ABC$, $D$ nằm giữa $B$ và $C$. Qua $D$ kẻ đường song song với $AB$ cắt $AC$ tại $E$, đường song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$.

a) Ta có $DE \parallel AB$ nên $DE \parallel AF$; $DF \parallel AC$ nên $DF \parallel AE$.
Tứ giác $AEDF$ có hai cặp cạnh đối song song → AEDF là hình bình hành.

b) Tam giác $ABC$ cân tại $A$.
Hình bình hành $AEDF$ là hình thoi khi đường chéo $AD$ là tia phân giác của góc $A$. Trong tam giác cân tại $A$, đường phân giác từ $A$ cũng là đường trung tuyến, nên D phải là trung điểm của BC.

c) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ → $\widehat{A} = 90^\circ$.
Hình bình hành $AEDF$ có góc $A$ vuông → AEDF là hình chữ nhật.

d) Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.
Để $AEDF$ vừa là hình chữ nhật (góc $A$ vuông, luôn đúng) vừa là hình thoi thì cần $AD$ là phân giác góc $A$, tức D là trung điểm của BC. Khi đó AEDF là hình vuông.

---

Bài 3.31: Trung điểm các cạnh hình chữ nhật

Đề: Chứng minh trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Gọi hình chữ nhật $ABCD$, và $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$.

• $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN = \dfrac{AC}{2}$.
• Tương tự $NP = \dfrac{BD}{2}$, $PQ = \dfrac{AC}{2}$, $QM = \dfrac{BD}{2}$.

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau: $AC = BD$.
Suy ra $MN = NP = PQ = QM$. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau → MNPQ là hình thoi. ∎

---

Bài 3.32: Trung điểm các cạnh hình thoi

Đề: Chứng minh trung điểm bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Gọi hình thoi $ABCD$, các trung điểm $M, N, P, Q$ của $AB, BC, CD, DA$.

• $MN \parallel AC$ và $QP \parallel AC$ (đường trung bình), đồng thời bằng $\dfrac{AC}{2}$ → $MNPQ$ là hình bình hành.
• Hình thoi có hai đường chéo vuông góc: $AC \perp BD$.
• Vì $MN \parallel AC$ và $MQ \parallel BD$ nên $MN \perp MQ$, tức góc $M = 90^\circ$.

Hình bình hành có một góc vuông → MNPQ là hình chữ nhật. ∎

---

Bài 3.33: Tính các cạnh hình chữ nhật

Đề: Hình chữ nhật $ABCD$ có chu vi $36$ cm, $M$ là trung điểm $BC$, biết $MA \perp MD$. Tính các cạnh.

Đặt $AB = CD = a$, $BC = AD = b$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $BM = CM = \dfrac{b}{2}$.

Chu vi: $2(a+b)=36 \Rightarrow a+b = 18.$

Hai tam giác vuông $ABM$ và $DCM$ bằng nhau (hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau) nên $MA = MD$. Tam giác $AMD$ vuông cân tại $M$, suy ra góc $AMB = góc DMC = 45^\circ$.

Do đó tam giác $ABM$ vuông cân tại $B$:
$$AB = BM \Rightarrow a = \frac{b}{2}.$$

Thay vào $a+b=18$:

$$\frac{b}{2} + b = 18 \Rightarrow \frac{3b}{2}=18 \Rightarrow b = 12,\quad a = 6.$$

Vậy: AB = CD = 6 cm, BC = AD = 12 cm.

---

Bài 3.34: Tứ giác AMCP

Đề: Tam giác $ABC$; $M, N$ là trung điểm $AB, AC$. Lấy $P$ sao cho $N$ là trung điểm $MP$.

a) Tứ giác $AMCP$ có hai đường chéo là $AC$ và $MP$ cắt nhau tại $N$, mà $N$ là trung điểm của cả $AC$ (giả thiết) và $MP$. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → AMCP là hình bình hành.

b) Lưu ý $MN$ là đường trung bình nên $MN \parallel BC$ và $MP = 2MN = BC$.

---

Bài 3.35: EFGH là hình chữ nhật

Đề: Hình bình hành $ABCD$, các tia phân giác góc $A, B, C, D$ cắt nhau tạo $EFGH$. Chứng minh $EFGH$ là hình chữ nhật.

Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau:

$$\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ \Rightarrow \frac{\widehat{A}}{2} + \frac{\widehat{B}}{2} = 90^\circ.$$

Xét tam giác tạo bởi hai tia phân giác từ $A$ và $B$, tổng hai góc ở đáy là $90^\circ$ nên góc còn lại (tại $H$) bằng $90^\circ$.

Tương tự, tất cả các góc của $EFGH$ đều bằng $90^\circ$. Tứ giác có bốn góc vuông → EFGH là hình chữ nhật. ∎

---

Bài 3.36: Khung tre bị xô lệch

Đề: Khung tre hình chữ nhật, khi vít lỏng các góc không còn vuông thì khung là hình gì? Nẹp thêm một đường chéo thì còn xô lệch không?

• Bốn thanh tre có độ dài không đổi nên các cạnh đối vẫn bằng nhau. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau → hình bình hành. Vậy khung trở thành hình bình hành (các góc không còn vuông).
• Khi nẹp thêm một đường chéo, ta chia khung thành hai tam giác. Tam giác có ba cạnh cố định thì hình dạng không đổi → khung không còn bị xô lệch nữa.

---

Bài 3.37: Tứ giác OBAC

Đề: $Ou, Ov$ là phân giác của hai góc kề bù $xOy$ và $x'Oy$. $A$ trên tia $Ox$, $B, C$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $Ou, Ov$. Hỏi $OBAC$ là hình gì?

• Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc: $\widehat{BOC} = 90^\circ$.
• $B$ là chân đường vuông góc nên $\widehat{OBA} = 90^\circ$.
• $C$ là chân đường vuông góc nên $\widehat{OCA} = 90^\circ$.

Tứ giác $OBAC$ có ba góc vuông → OBAC là hình chữ nhật. ∎

---

Bài 3.38: Chứng minh DM + BN = MN

Đề: Hình vuông $ABCD$. $E$ trên $CD$. Tia phân giác góc $DAE$ cắt $DC$ tại $M$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AE$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $DM + BN = MN$.

Gọi $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $AE$. Vì $MN \perp AE$ nên ba điểm $M, K, N$ thẳng hàng, và $AK \perp MN$ tại $K$ (do $AK$ nằm trên $AE$).

Bước 1: Chứng minh $DM = KM$ và $AD = AK$.
Xét hai tam giác vuông $ADM$ (vuông tại $D$) và $AKM$ (vuông tại $K$):

• $AM$ là cạnh huyền chung,
• $\widehat{DAM} = \widehat{KAM}$ (vì $AM$ là phân giác góc $DAE$).

Do đó $\triangle ADM = \triangle AKM$ (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra $DM = KM$ và $AD = AK$.

Bước 2: Chứng minh $BN = KN$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = AD = AK$.
Xét hai tam giác vuông $ABN$ (vuông tại $B$) và $AKN$ (vuông tại $K$):

• $AN$ là cạnh huyền chung,
• $AB = AK$.

Do đó $\triangle ABN = \triangle AKN$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra $BN = KN$.

Bước 3: Kết luận.
Vì $K$ nằm giữa $M$ và $N$ trên đoạn $MN$ nên

$$MN = MK + KN = DM + BN.$$

Vậy $DM + BN = MN$. ∎

---

Nếu em muốn mình vẽ hình minh họa rõ hơn cho bài 3.33 hoặc 3.38, cứ nói nhé.