Giải Toán 8 - Tập 1 trang 75

Tóm tắt lý thuyết cần dùng

• Tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^\circ$.
• Hình bình hành: hai cặp cạnh đối song song; dấu hiệu hay dùng: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
• Hình chữ nhật: tứ giác có ba góc vuông; hoặc hình bình hành có một góc vuông / hai đường chéo bằng nhau.
• Hình thoi: hình bình hành có hai đường chéo vuông góc (hoặc hai cạnh kề bằng nhau).
• Hình vuông: hình thoi có một góc vuông / hai đường chéo bằng nhau.
• Hình thang cân: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau; tính chất quan trọng: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

---

Bài 3.39: Trắc nghiệm về góc của tứ giác

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

• A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.
• B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì góc còn lại là góc tù.
• C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì hai góc còn lại phải nhọn.
• D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

Đáp án: B.

Giải thích từng phương án:

• A sai: hình chữ nhật có 4 góc vuông, không có góc tù nào.
• B đúng: ba góc nhọn cộng lại nhỏ hơn $3\cdot 90^\circ = 270^\circ$, nên góc thứ tư lớn hơn $360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$, tức là góc tù.
• C sai: hai góc còn lại có thể là góc vuông (ví dụ $100^\circ + 110^\circ + 90^\circ + 60^\circ$... thực ra chỉ cần một góc không nhọn là đủ phản ví dụ), chúng không bắt buộc nhọn.
• D sai: tứ giác có thể có ba góc tù, ví dụ $100^\circ + 100^\circ + 100^\circ + 60^\circ = 360^\circ$.

---

Bài 3.40: Đúng hay sai

Lý do:

• a) Sai: hình thang cân cũng có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình bình hành.
• b) Sai: "hai cặp cạnh bằng nhau" có thể là hai cặp cạnh kề (hình "cái diều"), không phải hình bình hành.
• c) Đúng: ba góc vuông thì góc thứ tư $= 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$, tứ giác có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật.
• d) Sai: ba cạnh bằng nhau không buộc cạnh thứ tư bằng chúng, nên chưa chắc là hình thoi.

---

Bài 3.41: Đúng hay sai

Lý do:

• a) Đúng: hai cặp cạnh đối bằng nhau ⟹ hình bình hành; hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau ⟹ hình chữ nhật.
• b) Đúng: đây chính là dấu hiệu nhận biết hình bình hành (hai cặp cạnh đối bằng nhau).
• c) Đúng: tứ giác có hai cạnh song song là hình thang; hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân (định lí).
• d) Sai: hai cạnh song song + hai cạnh còn lại bằng nhau chính là hình thang cân, không phải hình bình hành. Phản ví dụ: một hình thang cân (hai cạnh bên bằng nhau) không phải hình bình hành.

---

Bài 3.42: Chứng minh hình thang cân

Đề: Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là hình thang cân.

Xét tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC = BD$ và một cặp cạnh đối $AD = BC$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo.

Bước 1 — Hai tam giác bằng nhau:
$$\triangle ACD \text{ và } \triangle BDC:\quad AD = BC,\ AC = BD,\ DC \text{ chung} \Rightarrow \triangle ACD = \triangle BDC\ (c.c.c)$$
Suy ra $\widehat{ACD} = \widehat{BDC}$, tức là $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$.

Bước 2 — Tính chất tại $O$:

• $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$ nên $\triangle OCD$ cân tại $O$, do đó $OC = OD$.
• Vì $AC = BD$ nên $OA = AC - OC = BD - OD = OB$, suy ra $OA = OB$.

Bước 3 — Chứng minh song song:
$\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh). Hai tam giác cân $OAB$ và $OCD$ có góc ở đỉnh bằng nhau nên góc đáy bằng nhau:
$$\widehat{OAB} = \widehat{OCD}.$$
Đây là hai góc so le trong của $AB$ và $CD$ cắt bởi $AC$, nên $AB \parallel CD$.

Bước 4 — Kết luận: $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$) có hai đường chéo $AC = BD$ ⟹ $ABCD$ là hình thang cân. $\blacksquare$

---

Bài 3.43: Hình bình hành ABCD, AP = 2AB

Đề: Cho hình bình hành $ABCD$. Lấy $P$ trên tia $AB$ sao cho $AP = 2AB$.

a) Tứ giác BPCD có là hình bình hành không?

Vì $P$ thuộc tia $AB$ và $AP = 2AB$ nên $B$ nằm giữa $A$ và $P$, suy ra

$$BP = AP - AB = 2AB - AB = AB.$$
Mà $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB \parallel CD$. Do $BP$ nằm trên đường thẳng $AB$ nên:
$$BP = CD \quad\text{và}\quad BP \parallel CD.$$
Tứ giác $BPCD$ có một cặp cạnh đối ($BP$ và $CD$) vừa song song vừa bằng nhau ⟹ $BPCD$ là hình bình hành.

b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, tính các góc của BPCD

Tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$ ⟹ $\widehat{BAD} = 90^\circ$ và $AB = AD$.
Hình bình hành $ABCD$ có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau ⟹ $ABCD$ là hình vuông.

Chọn hệ trục $A(0;0),\ B(a;0),\ D(0;a),\ C(a;a)$ với $a = AB$. Khi đó $P(2a;0)$. Tính các góc của $BPCD$:

$$\widehat{B} = 135^\circ,\quad \widehat{P} = 45^\circ,\quad \widehat{C} = 135^\circ,\quad \widehat{D} = 45^\circ.$$

(Kiểm tra: tổng $= 360^\circ$; vì $BPCD$ là hình bình hành nên các góc đối bằng nhau: $\widehat{B}=\widehat{C}=135^\circ$, $\widehat{P}=\widehat{D}=45^\circ$.)

---

Bài 3.44: Tam giác ABC vuông tại A (Hình 3.59)

Đề: $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm $BC$; $P$, $N$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $CA$, $AB$.

Vì $MP \perp CA$, $MN \perp AB$ và $AB \perp AC$ nên $MP \parallel AB$, $MN \parallel AC$.

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau

Hai tam giác vuông $CMP$ (vuông tại $P$) và $MBN$ (vuông tại $N$) có:

• Cạnh huyền $CM = MB$ (vì $M$ là trung điểm $BC$).
• $\widehat{PCM} = \widehat{ACB} = \widehat{C}$.
• Trong $\triangle MBN$: $\widehat{NMB} = 90^\circ - \widehat{MBN} = 90^\circ - \widehat{B} = \widehat{C}$ (vì $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$).

Vậy $\widehat{PCM} = \widehat{NMB}$. Theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn:
$$\triangle CMP = \triangle MBN.$$
Suy ra $MP = NB$ và $CP = MN$. $\blacksquare$

b) Chứng minh APMN là hình chữ nhật, suy ra N, P là trung điểm

Tứ giác $APMN$ có ba góc vuông:
$$\widehat{A} = 90^\circ,\quad \widehat{ANM} = 90^\circ\ (MN \perp AB),\quad \widehat{APM} = 90^\circ\ (MP \perp CA).$$
⟹ $APMN$ là hình chữ nhật, nên $MP = AN$ và $MN = AP$.

Kết hợp câu a):

• $MP = AN$ và $MP = NB$ ⟹ $AN = NB$ ⟹ $N$ là trung điểm $AB$.
• $MN = AP$ và $MN = CP$ ⟹ $AP = CP$ ⟹ $P$ là trung điểm $AC$. $\blacksquare$

c) Lấy Q sao cho P là trung điểm MQ, chứng minh AMCQ là hình thoi

Xét tứ giác $AMCQ$ có hai đường chéo là $AC$ và $MQ$, cắt nhau tại $P$.

• $P$ là trung điểm $AC$ (câu b).
• $P$ là trung điểm $MQ$ (cách dựng).

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⟹ $AMCQ$ là hình bình hành.
Lại có $MQ \perp AC$ (vì $MP \perp CA$, mà $Q$ nằm trên đường $MP$).
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc ⟹ $AMCQ$ là hình thoi. $\blacksquare$

d) Nếu AB = AC thì AMCQ có là hình vuông không?

Ta tính độ dài hai đường chéo của hình thoi $AMCQ$:
$$MQ = 2\,MP = 2\,AN = 2\cdot \frac{AB}{2} = AB.$$
Đường chéo còn lại là $AC$.

Khi $AB = AC$ thì:
$$MQ = AB = AC \Rightarrow MQ = AC.$$
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau ⟹ $AMCQ$ là hình vuông.

Vậy có, khi tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AMCQ$ là hình vuông.

---

Bài 3.45: Tam giác ABC cân tại A (Hình 3.60)

Đề: $\triangle ABC$ cân tại $A$; $M$ thuộc đường thẳng $BC$, $B$ nằm giữa $M$ và $C$. $E$, $K$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ và từ $B$ xuống $AC$; $N$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $ME$.

a) Chứng minh BKEN là hình chữ nhật

• $BK \perp AC$ và $ME \perp AC$ ⟹ $BK \parallel ME$.
• $BN \perp ME$.

Xét tứ giác $BKEN$ (với $K$, $E$ trên $AC$; $N$ trên $ME$):
$$\widehat{BKE} = 90^\circ\ (BK \perp AC),\quad \widehat{KEN} = 90^\circ\ (AC \perp ME),\quad \widehat{ENB} = 90^\circ\ (BN \perp ME).$$
Tứ giác có ba góc vuông ⟹ $BKEN$ là hình chữ nhật. $\blacksquare$

b) BK = NE = (khoảng cách từ M đến AC) − (khoảng cách từ M đến AB)

Gọi $D$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$ (trong hình). Khi đó:

• Khoảng cách từ $M$ đến $AC$ là $ME$.
• Khoảng cách từ $M$ đến $AB$ là $MD$.

Vì $BKEN$ là hình chữ nhật nên hai cạnh đối bằng nhau:
$$BK = NE.$$

Chứng minh $MN = MD$: xét hai tam giác vuông $BMN$ (vuông tại $N$) và $BMD$ (vuông tại $D$):

• Cạnh huyền $BM$ chung.
• $\widehat{NMB} = \widehat{EMB} = 90^\circ - \widehat{ACB}$ (vì $ME \perp AC$).
• $\widehat{DMB} = 90^\circ - \widehat{ABC}$ (vì $MD \perp AB$).

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$, do đó $\widehat{NMB} = \widehat{DMB}$.
Theo cạnh huyền – góc nhọn: $\triangle BMN = \triangle BMD \Rightarrow MN = MD$.

Vì $N$ nằm giữa $M$ và $E$:

$$NE = ME - MN = ME - MD.$$
Kết hợp $BK = NE$, ta được:

$$\boxed{BK = NE = ME - MD = (\text{k/c từ } M \text{ đến } AC) - (\text{k/c từ } M \text{ đến } AB).}$$

Vì $B$ cố định nên $BK$ không đổi; do đó dù $M$ di chuyển trên đường thẳng $BC$ (miễn $B$ nằm giữa $M$ và $C$), hiệu hai khoảng cách $ME - MD$ luôn bằng $BK$ – một hằng số. $\blacksquare$

---

Tóm lại: phần trắc nghiệm đáp án là 3.39‑B; 3.40 chỉ c) đúng; 3.41 chỉ d) sai. Các bài tự luận đều xoay quanh dấu hiệu nhận biết tứ giác đặc biệt, em nhớ kỹ "ba góc vuông ⟹ hình chữ nhật", "hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⟹ hình bình hành", và "hình thoi có hai đường chéo bằng nhau ⟹ hình vuông" là làm gọn nhé.