Giải Toán 8 - Tập 1 trang 81
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 81–82
Hai trang này gồm phần BÀI TẬP của bài trước (Định lí Thalès – trang 80) và phần mở đầu Bài 16: Đường trung bình của tam giác (trang 81). Mình giải hết các bài tập và câu hỏi nhé.
Tóm tắt lý thuyết liên quan
- Định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra những đoạn tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.
- Đường trung bình của tam giác (Bài 16): là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Bài 4.1: Tìm độ dài x, y trong Hình 4.9
Câu a) Tam giác PQE, biết HK // QE
H trên PQ với PH = 6, HQ = 4; K trên PE với PK = 8, KE = x.
Vì HK // QE, theo định lí Thalès:
$$\frac{PH}{HQ} = \frac{PK}{KE} \Rightarrow \frac{6}{4} = \frac{8}{x}$$
$$x = \frac{8 \cdot 4}{6} = \frac{32}{6} \approx 5{,}3$$
Câu b) Tam giác ABC
M trên AB, N trên AC. Hai góc tại M và B được đánh dấu bằng nhau, đó là hai góc đồng vị bằng nhau nên MN // BC.
Biết AN = 8, AC = 11 ⇒ NC = 11 − 8 = 3; MB = 6,5; AM = y.
Vì MN // BC:
$$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{y}{6{,}5} = \frac{8}{3}$$
$$y = \frac{6{,}5 \cdot 8}{3} = \frac{52}{3} \approx 17{,}3$$
Bài 4.2: Tìm các cặp đường thẳng song song trong Hình 4.10
Câu a) Tam giác MNP
E trên MN, F trên MP với ME = 2, EN = 3, MF = 3, FP = 4,5.
So sánh tỉ số:
$$\frac{ME}{EN} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{MF}{FP} = \frac{3}{4{,}5} = \frac{2}{3}$$
Vì $\dfrac{ME}{EN} = \dfrac{MF}{FP}$ nên theo định lí Thalès đảo: EF // NP.
Câu b) Tam giác HKQ
F trên HK (HF = 14, FK = 12); M trên HQ (HM = 15, MQ = 10); E trên KQ (KE = 18, EQ = 12).
Xét hai cạnh QH và QK với điểm M, E:
$$\frac{QM}{MH} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{QE}{EK} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$
Vì $\dfrac{QM}{MH} = \dfrac{QE}{EK}$ nên theo định lí Thalès đảo: ME // HK (tức ME // FK).
(Cặp FM và KQ không song song vì $\frac{HF}{FK} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$ khác $\frac{HM}{MQ} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.)
Bài 4.3: Chứng minh $\dfrac{AE}{AB} + \dfrac{AF}{AC} = 1$
Từ D trên BC: DE // AC (E trên AB) và DF // AB (F trên AC).
Áp dụng định lí Thalès:
- Vì DE // AC nên $\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BD}{BC}$, suy ra
$$\frac{AE}{AB} = 1 - \frac{BD}{BC} = \frac{DC}{BC}$$
- Vì DF // AB nên $\dfrac{CF}{CA} = \dfrac{CD}{CB}$, suy ra
$$\frac{AF}{AC} = 1 - \frac{CD}{CB} = \frac{BD}{BC}$$
Cộng lại:
$$\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} = \frac{DC}{BC} + \frac{BD}{BC} = \frac{DC + BD}{BC} = \frac{BC}{BC} = 1 \quad (\text{đpcm})$$
Bài 4.4: Chứng minh $BM = \dfrac{1}{3}BC$
Gọi K là trung điểm của AB, khi đó CK là đường trung tuyến và trọng tâm G nằm trên CK với:
$$\frac{CG}{CK} = \frac{2}{3}$$
Đường thẳng d qua G song song với AB. Vì K thuộc AB nên KB cũng nằm trên AB, tức d // KB.
Xét tam giác CKB, đường thẳng qua G song song với KB cắt CB tại M. Theo định lí Thalès:
$$\frac{CM}{CB} = \frac{CG}{CK} = \frac{2}{3} \Rightarrow CM = \frac{2}{3}BC$$
Do đó:
$$BM = BC - CM = BC - \frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}BC \quad (\text{đpcm})$$
Bài 4.5: Tính khoảng cách giữa B và E
Cho AB // EF, AF = 40 m, FC = 20 m, EC = 30 m; ba điểm C, F, A thẳng hàng và C, E, B thẳng hàng.
Xét tam giác CAB có F trên CA, E trên CB và EF // AB. Theo định lí Thalès:
$$\frac{CE}{CB} = \frac{CF}{CA}$$
Trong đó CA = CF + FA = 20 + 40 = 60 m, CE = 30 m. Vậy:
$$\frac{30}{CB} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \Rightarrow CB = 90 \text{ m}$$
Khoảng cách cần tìm:
$$BE = CB - CE = 90 - 30 = \boxed{60 \text{ m}}$$
Bài 16: Đường trung bình của tam giác (trang 81)
Tình huống mở đầu: D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, DE = 500 m. Đường trung bình DE bằng nửa cạnh BC nên BC = 2 · DE = 1 000 m. Vậy không cần đo trực tiếp vẫn tính được khoảng cách BC.
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Câu hỏi: Chỉ ra các đường trung bình của △DEF và △IHK (Hình 4.14)
Quan sát trên lưới ô vuông, ta xác định các điểm là trung điểm các cạnh:
- Trong △DEF: M là trung điểm DE, N là trung điểm DF, P là trung điểm EF.
- Đường trung bình: MN (nối trung điểm DE và DF) và NP (nối trung điểm DF và EF).
- Trong △IHK: B là trung điểm IH, C là trung điểm IK, A là trung điểm HK.
- Đường trung bình: BC (nối trung điểm IH và IK) và CA (nối trung điểm IK và HK).
Mỗi đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh tam giác đều là một đường trung bình.
Nếu bạn muốn mình giải kỹ thêm phần lý thuyết tính chất đường trung bình ở các trang sau thì gửi ảnh tiếp nhé.