Giải Toán 8 - Tập 1 trang 83
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 83–84
Tóm tắt lý thuyết
Phần này nói về tính chất đường trung bình của tam giác.
Định lí 1: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Tức là nếu $D$, $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ thì:
$$DE \parallel BC \quad \text{và} \quad DE = \frac{1}{2}BC$$
Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Ví dụ (trang 83): Tam giác $ABC$ có $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$, $BC = 10$ cm. Khi đó $MN$ là đường trung bình nên $MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5$ cm.
Luyện tập
Đề: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Tứ giác $DECB$ là hình gì? Tại sao?
Lời giải:
$D$, $E$ là trung điểm $AB$, $AC$ nên $DE$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, suy ra $DE \parallel BC$.
Vậy tứ giác $DECB$ có $DE \parallel BC$ nên là hình thang.
Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$, suy ra:
$$DB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC = EC$$
Hình thang $DECB$ có hai cạnh bên $DB = EC$ nên là hình thang cân.
Kết luận: Tứ giác $DECB$ là hình thang cân.
Vận dụng
Đề yêu cầu trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu (nằm ở trang trước, không có trong ảnh nên mình không giải được nội dung cụ thể).
Bài 4.6: Tính độ dài x, y trong Hình 4.18
Đề: Tính các độ dài $x$, $y$ trong Hình 4.18.
Hình a) Tam giác $DEF$ có $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của $DF$, $EF$ (các dấu kí hiệu bằng nhau). Biết $HK = 3$, cần tính $x = DE$.
$H$, $K$ là trung điểm $DF$, $EF$ nên $HK$ là đường trung bình của $\triangle DEF$:
$$HK = \frac{1}{2}DE \Rightarrow DE = 2\cdot HK = 2\cdot 3 = 6$$
Vậy $x = 6$.
Hình b) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $M$ là trung điểm $AB$ (vì $BM = MA = 3$), $MN \parallel AC$ (cùng vuông góc với $AB$). Biết $BN = 5$, cần tính $y = NC$.
Vì $M$ là trung điểm $AB$ và $MN \parallel AC$ nên theo chú ý, $N$ là trung điểm $BC$.
Do đó:
$$NC = BN = 5$$
Vậy $y = 5$.
Bài 4.7
Đề: Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$, $BC$.
a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang.
$M$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, suy ra $MN \parallel BC$.
Tứ giác $BMNC$ có $MN \parallel BC$ nên là hình thang.
b) Tứ giác $MNPB$ là hình gì? Tại sao?
- $MN$ là đường trung bình ứng với $BC$ nên $MN \parallel BC$, tức $MN \parallel BP$.
- $N$, $P$ là trung điểm $AC$, $BC$ nên $NP$ là đường trung bình ứng với $AB$, suy ra $NP \parallel AB$, tức $NP \parallel MB$.
Tứ giác $MNPB$ có hai cặp cạnh đối song song ($MN \parallel BP$ và $NP \parallel MB$) nên là hình bình hành.
Bài 4.8
Đề: Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Lấy hai điểm $D$ và $E$ trên cạnh $AB$ sao cho $AD = DE = EB$ và $D$ nằm giữa hai điểm $A$, $E$.
a) Chứng minh $DC \parallel EM$.
Xét tam giác $BDC$ (xét trên cạnh $BD$ và $BC$):
- $E$ là trung điểm của $BD$ vì $DE = EB$.
- $M$ là trung điểm của $BC$ (vì $AM$ là trung tuyến).
Do đó $EM$ là đường trung bình của $\triangle BDC$, suy ra:
$$EM \parallel DC$$
b) $DC$ cắt $AM$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $AM$.
Xét tam giác $AEM$:
- $D$ là trung điểm của $AE$ vì $AD = DE$.
- Theo câu a) $DI \parallel EM$ (vì $I$ nằm trên $DC$ mà $DC \parallel EM$).
Vì đường thẳng đi qua trung điểm $D$ của cạnh $AE$ và song song với cạnh $EM$ nên theo chú ý, nó đi qua trung điểm của cạnh $AM$.
Vậy $I$ là trung điểm của $AM$.
Bài 4.9
Đề: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$. Chứng minh rằng tứ giác $AHOK$ là hình chữ nhật.
Lời giải:
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Xét tam giác $ABC$:
- $H$ là trung điểm $AB$, $O$ là trung điểm $AC$.
- Suy ra $HO$ là đường trung bình, nên $HO \parallel BC$.
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, $BC \perp AB$, mà $HO \parallel BC$ nên $HO \perp AB$, tức $\widehat{AHO} = 90^\circ$.
Xét tam giác $ACD$:
- $K$ là trung điểm $AD$, $O$ là trung điểm $AC$.
- Suy ra $KO$ là đường trung bình, nên $KO \parallel CD$.
Vì $CD \perp AD$ và $KO \parallel CD$ nên $KO \perp AD$, tức $\widehat{AKO} = 90^\circ$.
Ngoài ra $\widehat{KAH} = \widehat{DAB} = 90^\circ$ (góc của hình chữ nhật).
Tứ giác $AHOK$ có ba góc vuông ($\widehat{KAH} = \widehat{AHO} = \widehat{AKO} = 90^\circ$) nên là hình chữ nhật.
Mình đã giải hết các bài tập trên trang. Riêng phần Vận dụng cần nội dung tình huống mở đầu ở trang trước thì mới trả lời cụ thể được. Nếu bạn gửi thêm trang đó, mình sẽ hoàn thiện luôn nhé.