Giải Toán 8 - Tập 1 trang 87
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 87–88
Trang 86 là phần BÀI TẬP (có 3 bài 4.10, 4.11, 4.12 và mục Em có biết), còn trang 87 là phần LUYỆN TẬP CHUNG gồm 3 ví dụ đã có lời giải mẫu.
Tóm tắt lý thuyết áp dụng
- Tính chất đường phân giác trong tam giác: phân giác từ một đỉnh chia cạnh đối diện theo tỉ số hai cạnh kề.
$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$$
- Đường phân giác ngoài cũng có tính chất tương tự (mục Em có biết): $\dfrac{D'B}{D'C} = \dfrac{AB}{AC}$.
- Định lí Thalès và Thalès đảo, đường trung bình của tam giác.
Bài 4.10: Tính độ dài x trong Hình 4.24
Đề: Tam giác $MNP$, điểm $H$ nằm trên cạnh $MN$. Biết $MH = 3$, $HN = 5{,}1$, $MP = 5$, $NP = x$, và $PH$ là tia phân giác của góc $\widehat{MPN}$ (dấu góc bằng nhau tại $P$).
Lời giải:
Trong tam giác $MNP$, $PH$ là đường phân giác của góc $P$ nên theo tính chất đường phân giác:
$$\frac{HM}{HN} = \frac{PM}{PN}$$
Thay số:
$$\frac{3}{5{,}1} = \frac{5}{x} \;\Rightarrow\; x = \frac{5 \cdot 5{,}1}{3} = \frac{25{,}5}{3} = 8{,}5$$
Đáp số: $x = 8{,}5$.
Bài 4.11: Tính độ dài đoạn DC
Đề: Cho tam giác $ABC$. Đường phân giác trong của góc $A$ cắt $BC$ tại $D$. Tính $DC$ biết $AB = 4{,}5$ m; $AC = 7{,}0$ m; $CB = 3{,}5$ m (làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải:
Theo tính chất đường phân giác trong:
$$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4{,}5}{7{,}0}$$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với $DB + DC = BC = 3{,}5$:
$$\frac{DB}{4{,}5} = \frac{DC}{7{,}0} = \frac{DB + DC}{4{,}5 + 7{,}0} = \frac{3{,}5}{11{,}5}$$
Do đó:
$$DC = 7{,}0 \cdot \frac{3{,}5}{11{,}5} = \frac{24{,}5}{11{,}5} \approx 2{,}1 \text{ (m)}$$
Đáp số: $DC \approx 2{,}1$ m.
Bài 4.12: Bài toán nhà bạn Mai và bạn Dung
Đề: $ABCD$ là hình vuông, $M$ là trung điểm của $AB$. Mai ở $M$, Dung ở $D$, hai bạn cùng đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường $MD$ để đến điểm $I$ (giao điểm của $MD$ với đường chéo $AC$). Mai xuất phát lúc 7h và gặp tại $I$ lúc 7h30. Hỏi Dung phải xuất phát lúc mấy giờ?
Lời giải:
Điểm $I$ là giao của đoạn $MD$ với đường chéo $AC$. Xét hai tam giác $AMI$ và $CDI$:
- $AM \parallel CD$ (vì $AB \parallel CD$).
- $\widehat{AIM} = \widehat{CID}$ (hai góc đối đỉnh).
Suy ra $\triangle AMI \backsim \triangle CDI$ (g.g), nên:
$$\frac{MI}{DI} = \frac{AM}{CD}$$
Mà $M$ là trung điểm $AB$ và $AB = CD$ (cạnh hình vuông) nên $AM = \dfrac{1}{2}CD$. Do đó:
$$\frac{MI}{DI} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; DI = 2\,MI$$
Hai bạn đi cùng vận tốc nên thời gian tỉ lệ với quãng đường.
- Mai đi $MI$ hết $7h30 - 7h = 30$ phút.
- Dung đi $DI = 2\,MI$ nên cần $2 \times 30 = 60$ phút.
Để gặp Mai lúc 7h30, Dung phải xuất phát trước đó 60 phút:
$$7\text{h}30 - 60 \text{ phút} = 6\text{h}30$$
Đáp số: Bạn Dung phải xuất phát lúc 6h30.
Em có biết: Đường phân giác ngoài
Đường phân giác của góc ngoài tại một đỉnh của tam giác cũng có tính chất giống phân giác trong. Trong Hình 4.26, $AD'$ là phân giác của góc $BAx$ (phân giác ngoài của $\triangle ABC$ tại $A$), ta có:
$$\frac{D'B}{D'C} = \frac{AB}{AC}$$
Điểm khác biệt: $D'$ nằm ngoài đoạn $BC$ (trên phần kéo dài).
Trang 87 – LUYỆN TẬP CHUNG (các ví dụ mẫu)
Đây là phần ví dụ kèm lời giải sẵn trong sách. Mình tóm tắt lại để em nắm phương pháp.
Ví dụ 1: Tìm x trong Hình 4.27
Cho $\widehat{AMN} = \widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị) nên $MN \parallel BC$. Với $AM = 16$, $AN = 20$, $NC = 15$:
$$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \;\Rightarrow\; \frac{16}{x} = \frac{20}{15} \;\Rightarrow\; x = \frac{16 \cdot 15}{20} = 12$$
Ví dụ 2: Chứng minh DE // BC
Tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. $MD$ là phân giác $\widehat{AMB}$ ($D$ trên $AB$), $ME$ là phân giác $\widehat{AMC}$ ($E$ trên $AC$).
- Trong $\triangle AMB$: $\dfrac{DA}{DB} = \dfrac{MA}{MB}$ (1)
- Trong $\triangle AMC$: $\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{MA}{MC}$ (2)
- $MB = MC$ ($M$ là trung điểm $BC$) (3)
Từ (1), (2), (3): $\dfrac{DA}{DB} = \dfrac{EA}{EC}$, theo định lí Thalès đảo suy ra $DE \parallel BC$.
Ví dụ 3: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
$I$, $K$ lần lượt là trung điểm $AH$ và $HB$.
a) Chứng minh $IK \perp AC$:
Trong $\triangle AHB$, $I$ là trung điểm $AH$, $K$ là trung điểm $HB$ nên $KI$ là đường trung bình $\Rightarrow KI \parallel AB$. Mà $AB \perp AC$ (vuông tại $A$) nên $IK \perp AC$.
b) Chứng minh $AK \perp CI$:
Xét $\triangle AKC$:
- $AH \perp KC$ (vì $AH$ là đường cao xuống $BC$, mà $K$ thuộc $BC$).
- $KI \perp AC$ (theo câu a).
Hai đường $AH$ và $KI$ cắt nhau tại $I$, nên $I$ là trực tâm của $\triangle AKC$. Suy ra $CI$ là đường cao thứ ba, tức $CI \perp AK$, hay $AK \perp CI$.
Tóm lại, cả ba bài tập đều xoay quanh tính chất đường phân giác và định lí Thalès. Điểm mấu chốt là nhận ra tỉ số cần dùng: bài 4.10 và 4.11 dùng phân giác, còn bài 4.12 cần dựng cặp tam giác đồng dạng để tìm tỉ số quãng đường $MI : DI = 1 : 2$.