HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 8 - Tập 1 trang 89

Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 89–90

BÀI TẬP

Bài 4.13

Đề bài: Tìm độ dài x trong Hình 4.30

(Hình vẽ: Tam giác DEF với EN = 6, NF = x, DM = 3, MF = 2, M nằm trên DF, N nằm trên EF)

Cách 1 — Sử dụng định lý đường trung bình (hoặc định lý Thales)

Phân tích hình: Quan sát hình, ta thấy MN // DE (vì MN là đường nối hai điểm trên hai cạnh của tam giác).

Bước 1: Xác định tỉ số trên cạnh DF.

Ta có: DM = 3, MF = 2

Suy ra: DF = DM + MF = 3 + 2 = 5

Tỉ số: MF/DF = 2/5

Bước 2: Áp dụng định lý Thales.

Vì MN // DE nên theo định lý Thales:

  • FM/FD = FN/FE

Ta có: FM/FD = 2/5

Bước 3: Tính FN và x.

Gọi FN = x, ta có EN = 6, nên FE = FN + NE = x + 6

Từ định lý Thales:

  • 2/5 = x/(x + 6)

Bước 4: Giải phương trình.

2(x + 6) = 5x

2x + 12 = 5x

12 = 5x - 2x

12 = 3x

x = 4

Đáp án: x = 4
Cách 2 — Sử dụng hệ quả định lý Thales

Vì MN // DE, áp dụng hệ quả định lý Thales:

  • FM/MD = FN/NE

Thay số: 2/3 = x/6

Suy ra: x = (2 × 6)/3 = 12/3 = 4

Đáp án: x = 4
💡 Mẹo nhớ: Khi có đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, các đoạn thẳng bị cắt tỉ lệ với nhau: "Cùng phía thì tỉ lệ bằng nhau".

Bài 4.14

Đề bài: Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.

b) So sánh EF và (1/2)(AB + CD).

Câu a)

Cách giải:

Bước 1: Xét tam giác ACD.

  • E là trung điểm của AD (giả thiết)
  • K là trung điểm của AC (giả thiết)

Bước 2: Áp dụng tính chất đường trung bình.

Trong tam giác ACD, EK là đường trung bình (nối trung điểm hai cạnh AD và AC).

Theo tính chất đường trung bình của tam giác:

  • EK // CD
  • EK = CD/2

Bước 3: Xét tam giác ABC.

  • F là trung điểm của BC (giả thiết)
  • K là trung điểm của AC (giả thiết)

Bước 4: Áp dụng tính chất đường trung bình.

Trong tam giác ABC, FK là đường trung bình.

Theo tính chất đường trung bình:

  • FK // AB
  • FK = AB/2
Kết luận: EK // CD và FK // AB (đpcm)
Câu b)

Cách giải:

Bước 1: Từ câu a, ta có:

  • EK = CD/2
  • FK = AB/2

Bước 2: Xét vị trí các điểm E, K, F.

Ba điểm E, K, F có thể thẳng hàng hoặc không thẳng hàng tùy thuộc vào hình dạng tứ giác.

Trường hợp 1: Nếu E, K, F thẳng hàng (khi AB // CD, tức ABCD là hình thang):

  • EF = EK + KF = CD/2 + AB/2 = (AB + CD)/2

Trường hợp 2: Nếu E, K, F không thẳng hàng:

  • Theo bất đẳng thức tam giác trong tam giác EKF:
  • EF < EK + KF = CD/2 + AB/2 = (AB + CD)/2
Kết luận: EF ≤ (1/2)(AB + CD) Dấu "=" xảy ra khi AB // CD (tứ giác ABCD là hình thang).

Bài 4.15

Đề bài: Cho tam giác ABC, phân giác AD (D ∈ BC). Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng AC/AB = EC/EA.

Cách giải:

Bước 1: Vẽ hình và xác định giả thiết.

  • Tam giác ABC, AD là phân giác góc A (D ∈ BC)
  • DE // AB (E ∈ AC)

Bước 2: Áp dụng tính chất phân giác trong tam giác.

Vì AD là phân giác góc BAC của tam giác ABC, theo tính chất đường phân giác:

DB/DC = AB/AC ... (1)

Bước 3: Áp dụng định lý Thales.

Vì DE // AB, trong tam giác ABC:

CD/CB = CE/CA (định lý Thales)

Hay: CD/CB = EC/AC ... (2)

Bước 4: Biến đổi từ (1).

Từ (1): DB/DC = AB/AC

Suy ra: (DB + DC)/DC = (AB + AC)/AC

Hay: BC/DC = (AB + AC)/AC

Suy ra: DC/BC = AC/(AB + AC) ... (3)

Bước 5: Từ (2) và biến đổi.

Vì DE // AB, áp dụng hệ quả định lý Thales trong tam giác CAB:

CE/EA = CD/DB ... (4)

Bước 6: Từ tính chất phân giác.

Từ (1): DB/DC = AB/AC, suy ra DC/DB = AC/AB

Thay vào (4): CE/EA = CD/DB

Mà CD/DB = AC/AB (từ tính chất phân giác, đảo lại)

Vậy: CE/EA = AC/AB

Hay: AC/AB = EC/EA

Kết luận: AC/AB = EC/EA (đpcm)

Bài 4.16

Đề bài: Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

Câu a)

Cách 1 — Áp dụng tính chất đường phân giác

Bước 1: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

Vì AD là phân giác góc BAC, ta có:

DB/DC = AB/AC = 15/20 = 3/4

Bước 2: Đặt ẩn và lập phương trình.

Đặt DB = 3k, DC = 4k (với k > 0)

Ta có: DB + DC = BC

3k + 4k = 25

7k = 25

k = 25/7

Bước 3: Tính DB và DC.

DB = 3k = 3 × 25/7 = 75/7 ≈ 10,71 cm

DC = 4k = 4 × 25/7 = 100/7 ≈ 14,29 cm

Đáp án: - DB = 75/7 cm (≈ 10,71 cm) - DC = 100/7 cm (≈ 14,29 cm)
Cách 2 — Giải bằng hệ phương trình

Gọi DB = x, DC = y.

Hệ phương trình:

  • x + y = 25 (tổng bằng BC)
  • x/y = 15/20 = 3/4 (tính chất phân giác)

Từ phương trình 2: x = 3y/4

Thay vào phương trình 1: 3y/4 + y = 25

7y/4 = 25

y = 100/7

x = 25 - 100/7 = 175/7 - 100/7 = 75/7

💡 Mẹo bấm máy: Bấm MODE → 5 (EQN) → 1 (hệ 2 ẩn), nhập hệ số để giải nhanh.
Câu b)

Cách giải:

Bước 1: Nhận xét về hai tam giác ABD và ACD.

Hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao hạ từ A xuống BC (gọi là AH).

Bước 2: Tính tỉ số diện tích.

S(ABD)/S(ACD) = (1/2 × DB × AH) / (1/2 × DC × AH)

S(ABD)/S(ACD) = DB/DC = 75/7 ÷ 100/7 = 75/100 = 3/4

Đáp án: S(ABD)/S(ACD) = 3/4
💡 Mẹo nhớ: Hai tam giác chung đường cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số đáy tương ứng.

Bài 4.17

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua D cắt AC, AB, CB theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng: DM² = MN × MK.

Cách giải:

Bước 1: Vẽ hình và xác định các yếu tố.

  • ABCD là hình bình hành, nên AB // CD và AD // BC
  • Đường thẳng qua D cắt AC tại M, cắt AB tại N, cắt CB (kéo dài) tại K

Bước 2: Xét các cặp tam giác đồng dạng.

Xét tam giác DMC và tam giác NMA:

  • Góc DMC = góc NMA (đối đỉnh)
  • Góc DCM = góc NAM (so le trong, vì DC // AB, hay DC // AN)

Suy ra: Tam giác DMC đồng dạng với tam giác NMA (g.g)

Do đó: DM/NM = MC/MA = DC/NA ... (1)

Bước 3: Xét tam giác DMA và tam giác KMC.

  • Góc DMA = góc KMC (đối đỉnh)
  • Góc DAM = góc KCM (so le trong, vì AD // BC, hay AD // KC)

Suy ra: Tam giác DMA đồng dạng với tam giác KMC (g.g)

Do đó: DM/KM = MA/MC = DA/KC ... (2)

Bước 4: Nhân (1) và (2) vế theo vế.

Từ (1): DM/NM = MC/MA

Từ (2): DM/KM = MA/MC

Nhân vế theo vế:

(DM/NM) × (DM/KM) = (MC/MA) × (MA/MC)

DM²/(NM × KM) = 1

Bước 5: Kết luận.

DM² = NM × KM = MN × MK

Kết luận: DM² = MN × MK (đpcm)

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 4.18

Đề bài: Độ dài x trong Hình 4.31 bằng:

A. 2,75 B. 2 C. 2,25 D. 3,75

(Hình 4.31: Tam giác ABC với AM = 2, AN = 1,5, MB = 3, NC = x)

Cách giải:

Bước 1: Nhận xét hình vẽ.

Từ hình, MN là đoạn nối hai điểm M trên AB và N trên AC.

Nếu MN // BC thì áp dụng định lý Thales.

Bước 2: Kiểm tra MN // BC.

Nếu MN // BC thì: AM/AB = AN/AC

Ta có: AM = 2, MB = 3, nên AB = AM + MB = 2 + 3 = 5

Tỉ số: AM/AB = 2/5

Bước 3: Áp dụng định lý Thales.

Vì MN // BC:

AM/AB = AN/AC

2/5 = 1,5/(1,5 + x)

Bước 4: Giải phương trình.

2(1,5 + x) = 5 × 1,5

3 + 2x = 7,5

2x = 4,5

x = 2,25

Đáp án: C. 2,25

Bài 4.19

Đề bài: Cho tam giác ABC. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC. Biết HK = 3,5 cm. Độ dài AB bằng:

A. 3,5 cm B. 7 cm C. 10 cm D. 15 cm

Cách giải:

Bước 1: Xác định HK là đường trung bình.

  • H là trung điểm AC
  • K là trung điểm BC

Vậy HK là đường trung bình của tam giác ABC (ứng với cạnh AB).

Bước 2: Áp dụng tính chất đường trung bình.

HK = AB/2

3,5 = AB/2

AB = 3,5 × 2 = 7 cm

Đáp án: B. 7 cm

Bài 4.20

Đề bài: Cho tam giác ABC có chu vi là 32 cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chu vi của tam giác MNP là:

A. 8 cm B. 64 cm C. 30 cm D. 16 cm

Cách giải:

Bước 1: Xác định các đường trung bình.

  • M là trung điểm AB, N là trung điểm AC → MN là đường trung bình, MN = BC/2
  • N là trung điểm AC, P là trung điểm BC → NP là đường trung bình, NP = AB/2
  • M là trung điểm AB, P là trung điểm BC → MP là đường trung bình, MP = AC/2

Bước 2: Tính chu vi tam giác MNP.

Chu vi MNP = MN + NP + MP = BC/2 + AB/2 + AC/2

= (AB + BC + AC)/2 = (Chu vi ABC)/2

= 32/2 = 16 cm

Đáp án: D. 16 cm
💡 Mẹo nhớ: Tam giác tạo bởi ba trung điểm có chu vi bằng nửa chu vi tam giác ban đầu.

Bài 4.21

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, D là điểm thuộc cạnh AB sao cho AD = 6 cm. Kẻ DE song song với BC (E thuộc AC), kẻ EF song song với CD (F thuộc AB). Độ dài AF bằng:

A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm

Cách giải:

Bước 1: Xác định các tỉ số.

Ta có: AD = 6 cm, AB = 9 cm

Suy ra: DB = AB - AD = 9 - 6 = 3 cm

Tỉ số: AD/AB = 6/9 = 2/3

Bước 2: Vì DE // BC, áp dụng định lý Thales trong tam giác ABC.

AD/AB = AE/AC = 2/3

Bước 3: Vì EF // CD, áp dụng định lý Thales trong tam giác ACD.

AE/AC = AF/AD

2/3 = AF/6

AF = (2 × 6)/3 = 4 cm

Đáp án: A. 4 cm

Bài 4.22

Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 15 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD có độ dài là:

A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm

Cách giải:

Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác.

Tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC = 15 cm, BC = 10 cm.

Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác.

BD là phân giác góc B, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác:

AD/DC = BA/BC = 15/10 = 3/2

Bước 3: Tính AD.

Đặt AD = 3k, DC = 2k

Ta có: AD + DC = AC

3k + 2k = 15

5k = 15

k = 3

Vậy: AD = 3k = 3 × 3 = 9 cm

Đáp án: C. 9 cm

B. TỰ LUẬN

Bài 4.23

Đề bài: Cho góc xOy. Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2 cm, OB = 5 cm. Trên tia Oy, lấy điểm C sao cho OC = 3 cm. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Cách giải:

Bước 1: Vẽ hình.

  • Góc xOy với O là đỉnh
  • Trên Ox: điểm A (OA = 2), điểm B (OB = 5)
  • Trên Oy: điểm C (OC = 3)
  • BD // AC, D ∈ Oy

Bước 2: Áp dụng định lý Thales.

Vì BD // AC, trong hình có các tia Ox, Oy cắt bởi hai đường thẳng song song AC và BD.

Theo định lý Thales:

OA/OB = OC/OD

2/5 = 3/OD

Bước 3: Tính OD.

OD = (5 × 3)/2 = 15/2 = 7,5 cm

Bước 4: Tính CD.

CD = OD - OC = 7,5 - 3 = 4,5 cm

Đáp án: CD = 4,5 cm
💡 Mẹo bấm máy: Bấm trực tiếp: 5 × 3 ÷ 2 = để được OD = 7,5, rồi trừ 3.

Bài 4.24

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Câu a)

Cách giải:

Bước 1: Xác định các đường trung bình.

  • D là trung điểm AB, F là trung điểm AC
  • DF là đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC

Theo tính chất: DF = BC/2

Bước 2: Tính AE.

E là trung điểm BC, và tam giác ABC vuông tại A.

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

AE là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

Vậy: AE = BC/2

Bước 3: So sánh.

AE = BC/2 = DF

Kết luận: AE = DF (đpcm)
Câu b)

Cách giải:

Bước 1: Xác định tọa độ (hoặc dùng tính chất trọng tâm).

Đặt A là gốc tọa độ, AB nằm trên trục Ox, AC nằm trên trục Oy.

Gọi A(0, 0), B(2b, 0), C(0, 2c) với b, c > 0.

Bước 2: Tính tọa độ các điểm.

  • D là trung điểm AB: D(b, 0)
  • E là trung điểm BC: E(b, c)
  • F là trung điểm AC: F(0, c)

Bước 3: Tính tọa độ I (trung điểm DE).

I = ((b + b)/2, (0 + c)/2) = (b, c/2)

Bước 4: Kiểm tra B, I, F thẳng hàng.

  • B(2b, 0), I(b, c/2), F(0, c)

Vectơ BI = (b - 2b, c/2 - 0) = (-b, c/2)

Vectơ BF = (0 - 2b, c - 0) = (-2b, c)

Ta thấy: BF = 2 × BI (vì -2b = 2×(-b) và c = 2×(c/2))

Vậy BI và BF cùng phương, suy ra B, I, F thẳng hàng.

Kết luận: Ba điểm B, I, F thẳng hàng (đpcm)

Bài 4.25

Đề bài: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh tứ giác EDKI là hình bình hành.

Cách giải:

Bước 1: Xác định các điểm.

  • D là trung điểm AC (vì BD là trung tuyến)
  • E là trung điểm AB (vì CE là trung tuyến)
  • G là trọng tâm tam giác ABC
  • I là trung điểm GB
  • K là trung điểm GC

Bước 2: Xét tam giác GAB.

  • E là trung điểm AB
  • I là trung điểm GB

Vậy EI là đường trung bình của tam giác GAB.

Suy ra: EI // GA và EI = GA/2

Bước 3: Xét tam giác GAC.

  • D là trung điểm AC
  • K là trung điểm GC

Vậy DK là đường trung bình của tam giác GAC.

Suy ra: DK // GA và DK = GA/2

Bước 4: So sánh EI và DK.

  • EI // GA và DK // GA → EI // DK
  • EI = GA/2 = DK

Bước 5: Kết luận.

Tứ giác EDKI có EI // DK và EI = DK.

Vậy EDKI là hình bình hành (dấu hiệu: có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Kết luận: Tứ giác EDKI là hình bình hành (đpcm)

Bài 4.26

Đề bài: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB). Chứng minh MN song song với BC.

Cách giải:

Bước 1: Áp dụng định lý Thales cho IM // BK.

Trong tam giác ABK, vì IM // BK (I ∈ AB, M ∈ AK):

AI/AB = AM/AK ... (1)

Bước 2: Áp dụng định lý Thales cho KN // CI.

Trong tam giác ACI, vì KN // CI (K ∈ AC, N ∈ AI):

AK/AC = AN/AI ... (2)

Bước 3: Nhân (1) và (2) vế theo vế.

(AI/AB) × (AK/AC) = (AM/AK) × (AN/AI)

AI × AK / (AB × AC) = AM × AN / (AK × AI)

Bước 4: Rút gọn.

(AI)² × (AK)² / (AB × AC × AK × AI) = AM × AN / (AK × AI)

Từ (1): AI/AB = AM/AK → AI × AK = AM × AB

Từ (2): AK/AC = AN/AI → AK × AI = AN × AC

Bước 5: Chứng minh AN/AB = AM/AC.

Từ (1): AI/AB = AM/AK, suy ra AI = AM × AB/AK

Từ (2): AK/AC = AN/AI, suy ra AN = AK × AI/AC = AK × (AM × AB/AK)/AC = AM × AB/AC

Vậy: AN/AB = AM/AC

Bước 6: Kết luận.

Vì AN/AB = AM/AC, theo định lý Thales đảo, MN // BC.

Kết luận: MN // BC (đpcm)

Bài 4.27

Đề bài: Bác Mến muốn tính khoảng cách giữa hai vị trí P, Q ở hai bên bờ ao cá. Để làm điều đó, bác Mến chọn ba vị trí A, B, C, thực hiện đo đạc và vẽ mô phỏng như Hình 4.32. Em hãy giúp bác Mến tính khoảng cách giữa hai điểm P và Q.

(Hình 4.32: AP = 150 m, AQ = 250 m, BP = 150 m, QC = 250 m, BC = 400 m)

Cách giải:

Bước 1: Phân tích hình vẽ.

Từ hình:

  • A nằm giữa P và B trên một đường thẳng, với AP = 150 m, AB = AP + PB
  • A nằm giữa Q và C trên một đường thẳng, với AQ = 250 m
  • BP = 150 m, QC = 250 m, BC = 400 m

Bước 2: Xác định vị trí các điểm.

Nhìn vào hình, P nằm trên đoạn AB và Q nằm trên đoạn AC.

Ta có:

  • AP = 150 m
  • AQ = 250 m
  • PB = 150 m (từ hình, BP = 150 m, nên AB = AP + PB = 150 + 150
Chế độ đọc sách →