Giải Toán 8 - Tập 1 trang 115
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 115–116
Hai trang này thuộc phần luyện tập sử dụng phần mềm GeoGebra. Trang đầu có mục Thực hành với 4 bài toán đại số, trang sau là phần lý thuyết hướng dẫn vẽ hình. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết các bài tập.
Tóm tắt lý thuyết
Trang giới thiệu các lệnh GeoGebra để làm việc với đa thức:
- Div, Mod, Division: tìm thương, dư, hoặc cả hai khi chia đa thức.
- Expand (KhaiTriển): khai triển biểu thức.
- Factor (PhânTíchRaThừaSố): phân tích thành nhân tử.
Trang sau (bài Vẽ hình đơn giản với GeoGebra) hướng dẫn dùng công cụ đường thẳng và đường tròn để vẽ hình chữ nhật, hình bình hành, hình thang. Các bước vẽ hình chữ nhật $ABCE$ với $AB = 4$ cm, $BC = 3$ cm gồm: vẽ đoạn $AB$, dựng đường vuông góc tại $B$, lấy giao điểm $C$, rồi dựng điểm $E$.
Dưới đây là lời giải các bài trong phần Thực hành.
Bài 1: Rút gọn biểu thức
Đề: Tính
$$(3x^2y + 5xy - 2)(4x + 3y) - 6x^2\left(2xy + \frac{3}{2}y^2 + \frac{10}{3}y\right)$$
Bước 1. Khai triển tích thứ nhất:
$$(3x^2y + 5xy - 2)(4x + 3y) = 12x^3y + 9x^2y^2 + 20x^2y + 15xy^2 - 8x - 6y$$
Bước 2. Khai triển phần thứ hai:
$$6x^2\left(2xy + \frac{3}{2}y^2 + \frac{10}{3}y\right) = 12x^3y + 9x^2y^2 + 20x^2y$$
Bước 3. Trừ hai kết quả:
$$\big(12x^3y + 9x^2y^2 + 20x^2y + 15xy^2 - 8x - 6y\big) - \big(12x^3y + 9x^2y^2 + 20x^2y\big)$$
$$\boxed{= 15xy^2 - 8x - 6y}$$
Ba số hạng đầu triệt tiêu hết nên kết quả gọn lại.
Bài 2: Khai triển biểu thức
a) $(5x - y)^2$
Dùng hằng đẳng thức $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$$\boxed{(5x - y)^2 = 25x^2 - 10xy + y^2}$$
b) $\left(\dfrac{1}{3}x + 2y\right)^3$
Dùng hằng đẳng thức $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ với $a = \frac{1}{3}x$, $b = 2y$:
| Số hạng | Tính | Kết quả |
|---|---|---|
| $a^3$ | $\left(\frac{1}{3}x\right)^3$ | $\frac{1}{27}x^3$ |
| $3a^2b$ | $3\cdot\frac{1}{9}x^2\cdot 2y$ | $\frac{2}{3}x^2y$ |
| $3ab^2$ | $3\cdot\frac{1}{3}x\cdot 4y^2$ | $4xy^2$ |
| $b^3$ | $(2y)^3$ | $8y^3$ |
$$\boxed{\left(\frac{1}{3}x + 2y\right)^3 = \frac{1}{27}x^3 + \frac{2}{3}x^2y + 4xy^2 + 8y^3}$$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) $x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 8x + 10$
Thử nghiệm các ước của 10, ta thấy $x = -1$ và $x = 5$ làm đa thức bằng 0, nên đa thức chia hết cho:
$$(x + 1)(x - 5) = x^2 - 4x - 5$$
Thực hiện phép chia $x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 8x + 10$ cho $x^2 - 4x - 5$ được thương $x^2 - 2$. Vậy:
$$\boxed{x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 8x + 10 = (x + 1)(x - 5)(x^2 - 2)}$$
(Nếu cho phép dùng số vô tỉ thì $x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$, dùng lệnh IFactor trong GeoGebra.)
b) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$
Áp dụng hằng đẳng thức quen thuộc:
$$(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)$$
Với $a = x$, $b = y$, $c = z$:
$$\boxed{(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x + y)(y + z)(z + x)}$$
Bài 4: Tìm thương và dư
a) $(3x^4y - 9x^3y^2 - 21x^2y^2) : (3x^2y)$
Đây là chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử:
- $3x^4y : 3x^2y = x^2$
- $-9x^3y^2 : 3x^2y = -3xy$
- $-21x^2y^2 : 3x^2y = -7y$
$$\boxed{\text{Thương} = x^2 - 3xy - 7y, \quad \text{dư} = 0}$$
b) $(2x^3 + 5x^2 - 2x + 12) : (2x^2 - x + 1)$
Đặt phép chia đa thức một biến:
| Bước | Tính | Phần dư còn lại |
|---|---|---|
| 1 | $2x^3 : 2x^2 = x$; trừ $x(2x^2 - x + 1)$ | $6x^2 - 3x + 12$ |
| 2 | $6x^2 : 2x^2 = 3$; trừ $3(2x^2 - x + 1)$ | $9$ |
Bậc của 9 nhỏ hơn bậc đa thức chia nên dừng lại.
$$\boxed{\text{Thương} = x + 3, \quad \text{dư} = 9}$$
Kiểm tra lại: $(2x^2 - x + 1)(x + 3) + 9 = 2x^3 + 5x^2 - 2x + 3 + 9 = 2x^3 + 5x^2 - 2x + 12$ ✓
Tất cả kết quả trên đều có thể kiểm tra nhanh bằng các lệnh tương ứng trong GeoGebra (Expand, Factor, Div, Mod).