Giải Toán 8 - Tập 1 trang 15

Phần Tranh luận (Trang 14 - hiển thị trong ảnh)

Đề bài: Hãy viết một vài đa thức bậc hai thu gọn với hai biến (x và y) mà mỗi hạng tử của nó đều có hệ số bằng 1.

Cách giải

Phân tích: Đa thức bậc hai với hai biến x, y có bậc cao nhất là 2. Mỗi hạng tử có hệ số bằng 1.

Các ví dụ:

• x^2 + y^2 + xy
• x^2 + xy + x + y
• xy + x + y + 1
• x^2 + y^2 + x + y
• xy + x + 1

Đáp án: Có thể viết nhiều đa thức như: x^2 + y^2 + xy; x^2 + xy + x + y; xy + x + y + 1...

---

BÀI TẬP

Bài 1.8

Đề bài: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?

−x^2 + 3x + 1; x/√5; x − √5/x; 2024; 3x^2y^2 − 5x3y + 2,4; 1/(x^2 + x + 1)

Cách giải

Nhắc lại: Đa thức là tổng của các đơn thức. Đơn thức không chứa biến ở mẫu số và không chứa biến dưới dấu căn.

Xét từng biểu thức:

Đáp án: Các biểu thức là đa thức: −x^2 + 3x + 1; x/√5; 2024; 3x^2y^2 − 5x3y + 2,4

💡 Mẹo nhớ: "Biến ở mẫu, biến trong căn → Không phải đa thức cần ghi nhớ!"

---

Bài 1.9

Đề bài: Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong đa thức sau:

a) x^2y − 3xy + 5x^2y^2 + 0,5x − 4

b) x√2 − 2xy^3 + y^3 − 7x^3y

Cách giải

a) Đa thức: x^2y − 3xy + 5x^2y^2 + 0,5x − 4

Đáp án câu a: - x^2y: hệ số 1, bậc 3 - −3xy: hệ số −3, bậc 2 - 5x^2y^2: hệ số 5, bậc 4 - 0,5x: hệ số 0,5, bậc 1 - −4: hệ số −4, bậc 0

b) Đa thức: x√2 − 2xy^3 + y^3 − 7x^3y

Đáp án câu b: - x√2: hệ số √2, bậc 1 - −2xy^3: hệ số −2, bậc 4 - y^3: hệ số 1, bậc 3 - −7x^3y: hệ số −7, bậc 4

---

Bài 1.10

Đề bài: Thu gọn đa thức:

a) 5x^4 − 2x^3y + 20xy^3 + 6x^3y − 3x^2y^2 + xy^3 − y^4

b) 0,6x^3 + x^2z − 2,7xy^2 + 0,4x^3 + 1,7xy^2

Cách 1 — Nhóm các hạng tử đồng dạng

a) 5x^4 − 2x^3y + 20xy^3 + 6x^3y − 3x^2y^2 + xy^3 − y^4

Bước 1: Xác định các hạng tử đồng dạng

• Hạng tử chứa x^4: 5x^4
• Hạng tử chứa x^3y: −2x^3y và 6x^3y
• Hạng tử chứa xy^3: 20xy^3 và xy^3
• Hạng tử chứa x^2y^2: −3x^2y^2
• Hạng tử chứa y^4: −y^4

Bước 2: Cộng các hệ số của hạng tử đồng dạng

• x^3y: (−2) + 6 = 4
• xy^3: 20 + 1 = 21

Bước 3: Viết kết quả

Đáp án câu a: 5x^4 + 4x^3y − 3x^2y^2 + 21xy^3 − y^4

---

b) 0,6x^3 + x^2z − 2,7xy^2 + 0,4x^3 + 1,7xy^2

Bước 1: Xác định các hạng tử đồng dạng

• Hạng tử chứa x^3: 0,6x^3 và 0,4x^3
• Hạng tử chứa x^2z: x^2z
• Hạng tử chứa xy^2: −2,7xy^2 và 1,7xy^2

Bước 2: Cộng các hệ số

• x^3: 0,6 + 0,4 = 1
• xy^2: (−2,7) + 1,7 = −1

Bước 3: Viết kết quả

Đáp án câu b: x^3 + x^2z − xy^2

---

Bài 1.11

Đề bài: Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

a) x^4 − 3x^2y^2 + 3xy^2 − x^4 + 1

b) 5x^2y + 8xy − 2x^2 − 5x^2y + x^2

Cách giải

a) x^4 − 3x^2y^2 + 3xy^2 − x^4 + 1

Bước 1: Nhóm hạng tử đồng dạng

• Hạng tử chứa x^4: x^4 và −x^4

Bước 2: Thu gọn

• x^4 − x^4 = 0

Bước 3: Viết đa thức thu gọn

= −3x^2y^2 + 3xy^2 + 1

Bước 4: Tìm bậc

• Bậc của −3x^2y^2 là 2 + 2 = 4
• Bậc của 3xy^2 là 1 + 2 = 3
• Bậc của 1 là 0

Bậc của đa thức = bậc cao nhất = 4

Đáp án câu a: Đa thức thu gọn: −3x^2y^2 + 3xy^2 + 1. Bậc = 4

---

b) 5x^2y + 8xy − 2x^2 − 5x^2y + x^2

Bước 1: Nhóm hạng tử đồng dạng

• Hạng tử chứa x^2y: 5x^2y và −5x^2y
• Hạng tử chứa x^2: −2x^2 và x^2
• Hạng tử chứa xy: 8xy

Bước 2: Thu gọn

• 5x^2y − 5x^2y = 0
• −2x^2 + x^2 = −x^2

Bước 3: Viết đa thức thu gọn
= 8xy − x^2

Bước 4: Tìm bậc

• Bậc của 8xy là 1 + 1 = 2
• Bậc của −x^2 là 2

Bậc của đa thức = 2

Đáp án câu b: Đa thức thu gọn: 8xy − x^2 (hoặc −x^2 + 8xy). Bậc = 2

---

Bài 1.12

Đề bài: Thu gọn rồi tính giá trị của đa thức:

M = (1/3)x^2y + xy^2 − xy + (1/2)xy^2 − 5xy − (1/3)x^2y tại x = 0,5 và y = 1

Cách 1 — Thu gọn rồi thay số

Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng

• Hạng tử chứa x^2y: (1/3)x^2y và −(1/3)x^2y
• Hạng tử chứa xy^2: xy^2 và (1/2)xy^2
• Hạng tử chứa xy: −xy và −5xy

Bước 2: Thu gọn từng nhóm

• x^2y: 1/3 − 1/3 = 0
• xy^2: 1 + 1/2 = 3/2
• xy: −1 − 5 = −6

Bước 3: Viết đa thức thu gọn
M = (3/2)xy^2 − 6xy

Bước 4: Thay x = 0,5 và y = 1
M = (3/2) × 0,5 × 1^2 − 6 × 0,5 × 1
M = (3/2) × 0,5 × 1 − 6 × 0,5
M = 0,75 − 3
M = −2,25

Đáp án: M = (3/2)xy^2 − 6xy. Tại x = 0,5 và y = 1: M = −2,25 (hoặc −9/4)

💡 Mẹo bấm máy: Sau khi thu gọn, bấm (3÷2)×0.5×1^2 − 6×0.5×1 = để kiểm tra kết quả.

---

Bài 1.13

Đề bài: Cho đa thức P = 8x^2y^2z − 2xyz + 5y^2z − 5x^2y^2z + x^2y^2 − 3x^2y^2z

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức P

b) Tính giá trị của đa thức P tại x = −4; y = 2 và z = 1

Cách giải

a) Thu gọn và tìm bậc

Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng

• Hạng tử chứa x^2y^2z: 8x^2y^2z, −5x^2y^2z và −3x^2y^2z
• Hạng tử chứa xyz: −2xyz
• Hạng tử chứa y^2z: 5y^2z
• Hạng tử chứa x^2y^2: x^2y^2

Bước 2: Thu gọn

• x^2y^2z: 8 − 5 − 3 = 0

Bước 3: Viết đa thức thu gọn

P = −2xyz + 5y^2z + x^2y^2

Bước 4: Tìm bậc của từng hạng tử

• −2xyz: bậc = 1 + 1 + 1 = 3
• 5y^2z: bậc = 2 + 1 = 3
• x^2y^2: bậc = 2 + 2 = 4

Bậc của đa thức P = 4

Đáp án câu a: P = −2xyz + 5y^2z + x^2y^2 (hoặc x^2y^2 − 2xyz + 5y^2z). Bậc = 4

---

b) Tính giá trị tại x = −4; y = 2; z = 1

Bước 1: Thay giá trị vào đa thức thu gọn

P = −2 × (−4) × 2 × 1 + 5 × 2^2 × 1 + (−4)^2 × 2^2

Bước 2: Tính từng phần

• −2 × (−4) × 2 × 1 = 16
• 5 × 4 × 1 = 20
• 16 × 4 = 64

Bước 3: Cộng lại

P = 16 + 20 + 64 = 100

Đáp án câu b: P = 100

💡 Mẹo bấm máy: Bấm (−2)×(−4)×2×1 + 5×2^2×1 + (−4)^2×2^2 = để kiểm tra.

---

Trang 15 — Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

Câu hỏi mở đầu bài

Đề bài: Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học của lớp, hai bạn tính giá trị của hai đa thức P = 2x^2y − xy^2 + 22 và Q = xy^2 − 2x^2y + 23 tại những giá trị cho trước của x và y. Kết quả được ghi lại như bảng bên.

Ban giám khảo cho biết có một cột cho kết quả sai. Theo em, làm thế nào để có thể nhanh chóng phát hiện cột có kết quả sai ấy?

Cách giải

Phương pháp: Tính P + Q và kiểm tra xem tổng có bằng hằng số không.

Bước 1: Tính P + Q

P + Q = (2x^2y − xy^2 + 22) + (xy^2 − 2x^2y + 23)

P + Q = 2x^2y − xy^2 + 22 + xy^2 − 2x^2y + 23

P + Q = (2x^2y − 2x^2y) + (−xy^2 + xy^2) + (22 + 23)

P + Q = 0 + 0 + 45

P + Q = 45 (không phụ thuộc vào x, y)

Bước 2: Kiểm tra từng cột

Đáp án: Cột thứ 3 (x = 2, y = 1) có kết quả sai vì P + Q = 38 + 17 = 55 ≠ 45. Mẹo: Khi P + Q = hằng số, ta chỉ cần kiểm tra tổng P + Q ở mỗi cột để phát hiện sai sót nhanh chóng.

---

Hoạt động 1 (HĐ1)

Đề bài: Thực hiện phép cộng hai đa thức A và B bằng cách tiến hành các bước sau:

Cho A = 5x^2y + 5x − 3 và B = xy − 4x^2y + 5x − 1

• Lập tổng A + B = (5x^2y + 5x − 3) + (xy − 4x^2y + 5x − 1)
• Bỏ dấu ngoặc và thu gọn đa thức nhận được.

Cách giải

Bước 1: Viết tổng A + B

A + B = (5x^2y + 5x − 3) + (xy − 4x^2y + 5x − 1)

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc (dấu + trước ngoặc → giữ nguyên dấu các hạng tử)

A + B = 5x^2y + 5x − 3 + xy − 4x^2y + 5x − 1

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng

A + B = (5x^2y − 4x^2y) + xy + (5x + 5x) + (−3 − 1)

Bước 4: Thu gọn

A + B = x^2y + xy + 10x − 4

Đáp án: A + B = x^2y + xy + 10x − 4

---

Hoạt động 2 (HĐ2)

Đề bài: Thực hiện phép trừ hai đa thức A và B bằng cách lập hiệu:

A − B = (5x^2y + 5x − 3) − (xy − 4x^2y + 5x − 1), bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức nhận được.

Cách giải

Bước 1: Viết hiệu A − B

A − B = (5x^2y + 5x − 3) − (xy − 4x^2y + 5x − 1)

Bước 2: Bỏ dấu ngoặc (dấu − trước ngoặc → đổi dấu tất cả hạng tử trong ngoặc)

A − B = 5x^2y + 5x − 3 − xy + 4x^2y − 5x + 1

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng

A − B = (5x^2y + 4x^2y) − xy + (5x − 5x) + (−3 + 1)

Bước 4: Thu gọn

A − B = 9x^2y − xy + 0 − 2
A − B = 9x^2y − xy − 2

Đáp án: A − B = 9x^2y − xy − 2

💡 Mẹo nhớ quy tắc dấu ngoặc: - Dấu + trước ngoặc: bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu - Dấu − trước ngoặc: bỏ ngoặc, đổi dấu tất cả

---

🎯 Ghi nhớ: - Đa thức là tổng của các đơn thức (không có biến ở mẫu, không có biến trong căn) - Bậc của đơn thức = tổng số mũ của các biến - Bậc của đa thức = bậc cao nhất trong các hạng tử (sau khi thu gọn) - Thu gọn đa thức = cộng các hạng tử đồng dạng - Cộng đa thức: bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu, thu gọn - Trừ đa thức: bỏ ngoặc, đổi dấu đa thức bị trừ, thu gọn