Giải Toán 8 - Tập 1 trang 21

Tóm tắt lý thuyết

Hai quy tắc quan trọng:

1. Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại.
2. Nhân đa thức với đa thức: nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại.

Phép nhân đa thức có các tính chất: giao hoán, kết hợp và phân phối với phép cộng (giống như nhân các số).

---

HĐ1: Nhân $(5x^2)(3x^2 - x - 4)$

$$5x^2 \cdot (3x^2 - x - 4) = 15x^4 - 5x^3 - 20x^2$$

HĐ2: Nhân $(5x^2y)(3x^2y - xy - 4y)$

$$5x^2y \cdot (3x^2y - xy - 4y) = 15x^4y^2 - 5x^3y^2 - 20x^2y^2$$

Luyện tập 2: Làm tính nhân

a) $(xy)(x^2 + xy - y^2)$

$$= x^3y + x^2y^2 - xy^3$$

b) $(xy + yz + zx)(-xyz)$

$$= -x^2y^2z - xy^2z^2 - x^2yz^2$$

Vận dụng: Rút gọn $x^3(x+y) - x(x^3 + y^3)$

$$\begin{aligned}

&= x^4 + x^3y - x^4 - xy^3 \\

&= x^3y - xy^3
\end{aligned}$$

HĐ3: Nhân $(2x+3)(x^2 - 5x + 4)$

$$\begin{aligned}

&= 2x^3 - 10x^2 + 8x + 3x^2 - 15x + 12 \\

&= 2x^3 - 7x^2 - 7x + 12
\end{aligned}$$

HĐ4: Nhân $(2x+3y)(x^2 - 5xy + 4y^2)$

$$\begin{aligned}

&= 2x^3 - 10x^2y + 8xy^2 + 3x^2y - 15xy^2 + 12y^3 \\

&= 2x^3 - 7x^2y - 7xy^2 + 12y^3
\end{aligned}$$

Luyện tập 3: Thực hiện phép nhân

a) $(2x+y)(4x^2 - 2xy + y^2)$
$$\begin{aligned}

&= 8x^3 - 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y - 2xy^2 + y^3 \\

&= 8x^3 + y^3
\end{aligned}$$

b) $(x^2y^2 - 3)(3 + x^2y^2)$
$$\begin{aligned}

&= 3x^2y^2 + x^4y^4 - 9 - 3x^2y^2 \\

&= x^4y^4 - 9
\end{aligned}$$

Thử thách nhỏ

$P = (2k-3)(3m-2) - (3k-2)(2m-3)$

a) Rút gọn $P$:

$$(2k-3)(3m-2) = 6km - 4k - 9m + 6$$

$$(3k-2)(2m-3) = 6km - 9k - 4m + 6$$

$$\begin{aligned}

P &= (6km - 4k - 9m + 6) - (6km - 9k - 4m + 6) \\

&= -4k - 9m + 6 + 9k + 4m - 6 \\

&= 5k - 5m = 5(k - m)
\end{aligned}$$

b) Chứng minh $P$ chia hết cho 5:

Với mọi $k, m$ nguyên thì $n = k - m$ là số nguyên, nên $P = 5n = 5(k-m)$ luôn là một số nguyên chia hết cho 5. Đây chính là dạng $P = 5n$ mà bạn nhỏ trong sách gợi ý.

---

BÀI TẬP

Bài 1.24: Nhân hai đơn thức

a) $5x^2y \cdot 2xy^2 = 10x^3y^3$

b) $\dfrac{3}{4}xy \cdot 8x^3y^2 = 6x^4y^3$

c) $1{,}5xy^2z^3 \cdot 2x^3y^2z = 3x^4y^4z^4$

Bài 1.25: Tìm tích của đơn thức với đa thức

a) $(-0{,}5)xy^2(2xy - x^2 + 4y)$

$$= -x^2y^3 + 0{,}5x^3y^2 - 2xy^3$$

b) $\left(x^3y - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}xy\right)6xy^3$
$$\begin{aligned}

&= 6x^4y^4 - 3x^3y^3 + 2x^2y^4
\end{aligned}$$

Bài 1.26: Rút gọn $x(x^2 - y) - x^2(x+y) + xy(x-1)$

$$\begin{aligned}

&= x^3 - xy - x^3 - x^2y + x^2y - xy \\

&= (x^3 - x^3) + (-x^2y + x^2y) + (-xy - xy) \\
&= -2xy
\end{aligned}$$

Bài 1.27: Làm tính nhân

a) $(x^2 - xy + 1)(xy + 3)$
$$\begin{aligned}

&= x^3y + 3x^2 - x^2y^2 - 3xy + xy + 3 \\

&= x^3y + 3x^2 - x^2y^2 - 2xy + 3
\end{aligned}$$

b) $\left(x^2y^2 - \dfrac{1}{2}xy + 2\right)(x - 2y)$
$$\begin{aligned}

&= x^3y^2 - 2x^2y^3 - \dfrac{1}{2}x^2y + xy^2 + 2x - 4y
\end{aligned}$$

Bài 1.28: Rút gọn để thấy giá trị không phụ thuộc biến

$(x-5)(2x+3) - 2x(x-3) + x + 7$

Tính từng phần:

• $(x-5)(2x+3) = 2x^2 - 7x - 15$
• $2x(x-3) = 2x^2 - 6x$

$$\begin{aligned}

&= 2x^2 - 7x - 15 - 2x^2 + 6x + x + 7 \\

&= (2x^2 - 2x^2) + (-7x + 6x + x) + (-15 + 7) \\
&= -8
\end{aligned}$$

Kết quả là $-8$, không còn chứa biến $x$, nên giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 1.29: Chứng minh đẳng thức

$$(2x+y)(2x^2+xy-y^2) = (2x-y)(2x^2+3xy+y^2)$$

Vế trái:
$$\begin{aligned}

(2x+y)(2x^2+xy-y^2) &= 4x^3 + 2x^2y - 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 - y^3 \\

&= 4x^3 + 4x^2y - xy^2 - y^3
\end{aligned}$$

Vế phải:
$$\begin{aligned}

(2x-y)(2x^2+3xy+y^2) &= 4x^3 + 6x^2y + 2xy^2 - 2x^2y - 3xy^2 - y^3 \\

&= 4x^3 + 4x^2y - xy^2 - y^3
\end{aligned}$$

Vậy VT = VP $= 4x^3 + 4x^2y - xy^2 - y^3$, suy ra đẳng thức được chứng minh (đpcm).

---

Một mẹo nhỏ cho em: khi nhân đa thức, hãy nhân lần lượt và viết ngay ngắn từng hạng tử, sau đó mới rút gọn các hạng tử đồng dạng. Như vậy sẽ tránh được lỗi thiếu sót hay nhầm dấu. Em cần cô giải thích thêm bài nào không?